About: 分裂補題

数学、より具体的にはホモロジー代数学において、分裂補題 (splitting lemma) は次のようなものである。任意のアーベル圏において、短完全列に対する以下のステートメントは同値である。 写像が q と r の短完全列 が与えられたとし、追加の矢印 t と u を存在しないかもしれない写像に対して書く。 このとき以下のステートメントは同値である。 1. 左分裂 (left split)写像 t: B → A が存在して tq は A 上恒等写像である。2. 右分裂 (right split)写像 u: C → B が存在して ru は C 上恒等写像である。3. 直和 (direct sum)B は A と C のに同型で、q は A の自然な入射に一致し、r は C への自然な射影に一致する。 短完全列は上のステートメントのどれかが成り立てば分裂する (split) という。 （「写像」という言葉は考えているアーベル圏の射を意味し、集合の間の写像ではない。） 注意： 完全列 は分裂するとは限らない。 この補題によって第一同型定理を精密化することができる。 * 第一同型定理は上記の短完全列において （すなわち "C" は "r" の余像あるいは "q" の余核に同型である）ということを述べている。 * 列が分裂すれば、 であり、第一同型定理は単に C の上への射影である。